Výzkumy v ASU AV ČR (167): Nová metoda výpočtu gravitačního pole toroidů

Často v našem seriálu poukazujeme na práce, v nichž se daří dnes obvyklý přístup numerického výpočtu s pomocí počítačů nahradit matematickým výpočtem s „tužkou a papírem“, což vede k velmi cenné analytické formulaci problému. Je téměř příznačné, že první z autorů studie, dr. Jean-Marck Huré, je profesorem na univerzitě v Bordeaux. Zejména ve Francii sahá tradice pečlivých matematických studií až k velikánům vědy 18. a 19. století, jako byl matematik, fyzik a astronom Pierre-Simon Laplace. I dnešní teoretická fyzika zná mnoho dosud nevyřešených úloh, které svou formulací náleží do klasické fyziky minulých století, avšak s velkým praktickým přesahem do dnešní počítačové éry. Jedním z příkladů je přesné a efektivní určení gravitačního pole astronomických těles.

Rozdíl mezi numerickým a analytickým řešením je nabíledni. Oba přístupy vedou k vyřešení problému popsaného fyzikálními rovnicemi, avšak z velice odlišného úhlu pohledu. Zatímco analytické řešení vzniká manipulací výrazů v rovnicích, řešení numerické spoléhá na číslicovou reprezentaci rovnic v počítači, tedy převodu spojitých veličin do diskrétních hodnot s konečnou přesností. Fyzikální rovnice často obsahují matematické operátory, např. derivace nebo integrály, které musí být v případě numerické reprezentace nahrazeny rozdíly (diferencemi) nebo sumami. Analytická řešení – na rozdíl od těch numerických – netrpí kumulací zaokrouhlovacích chyb, které jsou v počítačové reprezentaci vždy nevyhnutelně přítomny. 

V astrofyzice je dlouhodobým nevyřešeným problémem výpočet potenciálu gravitační síly v systémech s toroidální geometrií. Torus je odborným výrazem pro těleso, které vznikne rotací kružnice kolem bodu mimo kružnici. Lidově řečeno – pneumatika s kruhovým průřezem „duše“. Ve vesmíru nacházíme tělesa s podobnou geometrií často; popisují útvary od protoplanetárních disků po struktury na škálách galaxií. Znalost potenciálu gravitační síly umožňuje vypočítat, jak se budou testovací částice v okolí takových těles pohybovat. To je důležité nejen pro popis problému per se, ale především k diskusi o vzniku, vývoji a stabilitě těchto toroidálních struktur. 

Popsat gravitační potenciál toroidů analyticky je velmi komplikované, a tak odborníci při řešení těchto problémů nezřídka raději přistupují k využití řešení numerického. Narážejí však na omezení dané diskretizací. Výpočty trvají dlouho, není možné studovat současně dění na malých a velkých prostorových škálách, protože to není v silách ani těch nejmodernějších počítačů, numerické nepřesnosti neumožňují dlouhodobě studovat dynamický vývoj. 
Představovaný článek šel cestou elegantního analytického řešení problému. Zdálo by se, že „tužka a papír“ nemají v moderní vědě své místo, že jde o metody dávno překonané silou dnešních počítačů. Autoři však ukazují, že pokud se najde analytické řešení, jehož tvar lze navíc volit s ohledem na požadavek na přesnost, řešení fyzikálního problému se rázem posune o výrazný kus dopředu. 

Analytické řešení vyjádřili autoři ve formě nekonečné řady. Tato matematická metoda nahrazuje obecnou matematickou funkci součtem řady jiných, jednodušších příspěvků s různými koeficienty. Metoda rozvoje do řady je při řešení složitých problémů běžná a uživatelé se s ní setkávají, aniž by tušili, že se v pozadí používá. Tak například běžný grafický formát JPEG pro ukládání fotografií „šetří“ místo tak, že reálný obraz převádí na součet řady harmonických funkcí typu kosinus s různými frekvencemi a „kvalita“ komprese přímo souvisí s počty členů řady, které se použijí. Použije-li se jen několik málo prvních členů řady a ostatní se odříznou, ušetříme místo na disku, výsledný rekonstruovaný obraz ale nebude kvalitní a bude trpět artefakty. Dobře to zná každý, kdo fotografuje a obraz zpracovává. 

Ve fyzikálních problémech je to podobné: některá řešení ve formě rozvoje do řady vedou ke vzniku artefaktů. V literatuře zabývající se hmotnými toroidy nacházíme i taková řešení, která produkují nechtěný „šum“ nebo generují „hmotu“ v místech, kde by být neměla. Autoři představovaného článku však nalezli řešení, které zmíněnými artefakty netrpí. O to je jeho vědecká hodnota vyšší. Jejich řešení má dokonce tu vlastnost, že jednotlivé členy řady plní kýžené fyzikální rovnice každý zvlášť v odpovídajícím řádu. 

Autoři nalezené řešení důkladně otestovali jednak proti přesným analytickým řešením jednodušších problémů a také numericky v případě problémů složitějších. V rámci práce dále poukazují, že je jejich způsob řešení použitelný i na obecnější systémy. Nejen na duté toroidy, ale také na toroidy plné a dokonce i toroidy plné s hustotním rozvrstvením. Takové systémy jsou ve vesmíru opět běžné, kdy je hustota uprostřed toroidu nejvyšší a směrem ven klesá. Cena prezentovaného řešení v závěrečných kapitolách článku ještě stoupla, když autoři ukazují, že podobnou technologii lze použít na analytický výpočet magnetického pole toroidu, kterým protéká elektrický proud. 

Analytická řešení jsou velmi výhodná při popisu fyzikálních problémů. Se zvyšováním složitosti studovaných systémů ovšem klesá množství příležitostí analytické řešení nalézt. O to cennější jsou pak práce, které i v 21. století jdou tímto směrem a skutečně dorazí ke kýženému cíli.  

REFERENCE

J.-M. Huré, B. Basillais, V. Karas, A. Trova, & O. Semerák, The exterior gravitational potential of toroids, Montly Notices of the Royal Astronomical Society 494 (2020) 5825-5838, preprint arXiv:2005.08507. 

KONTAKTY

prof. RNDr. Vladimír Karas, DrSc.
vladimir.karas@asu.cas.cz
Oddělení galaxií a planetárních systémů Astronomického ústavu AV ČR

Zdroje a doporučené odkazy:
[1] Oddělení galaxií a planetárních systémů ASU

Převzato: Astronomický ústav AV ČR, v. v. i.